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1、椭圆曲线(ECC)的算法基础： *椭圆曲线的公式： y²=X³+aX+b，其中a、b还有一些条件，这里不赘述; *椭圆曲线上的某个点的切线P的交叉点的对称点R=n*P，这个过程是由先用A、B两个点加法推导过来的，这里不赘述。 加密算法是利用已知n和P，比较容易计算出Q, 但是已知Q和P就很难计算出n(基于当今数学的发展水平）。 利用Q作为公钥，n作为私钥进行加密，其中P为双方约定的某个起点(也是下文第4点中提到的G). 所以 公钥Q=私钥n*P，理解下文需要先记住这个点。 *曲线运算法则：椭圆形曲线的加减乘法与自然数加减乘法有一样的交换律和结合律， 比如A+B+C=A+C+B, A*B*C=C*B*A. *相同安全强度下，ECC的密钥长度远小于RSA或传统DH（例如256位ECC ≈ 3072位RSA）. *运算规则的推导如下：
*图1中在曲线上找到已知两个点P和Q画一条直线与曲线相交于-R，再找出-R的对称点R, 在曲线运算中数学家定义的加法就是R=P+Q（注意这是曲线加法，不是自然数的加法，而且运算量也是比较大）; *图2中的C=A+B, D=A+C, E=A+D, 从而可以推导出E=A+A+C=A+A+A+B *图3中的P就是曲线的切点，这个点可以从图1中将P和Q慢慢接近后可得到，图中的r=P+P=2P； 如果r依照图2中的方法继续运算1次r=2P+P=3P 再继续1次r=3P+P=4P，一直运算下去可以得到r=nP，n表示经过多少次的‘乘运算’； 2、算法约定： *双方约定曲线名称、基点 G、素数域等； 其中基点G(generator)，也就是曲线起点，这是一个不变的数值，且公开已知的 ; *假定一方叫Alice，拥有一对私钥a和公钥A，私钥不公开，只公开公钥，其中公钥A=a*G ; *假定另一方叫Bob，拥有一对私钥b和公钥B，私钥不公开，只公开公钥，其中公钥B=b*G ; *由于运算量大，通常不会直接加密明文，可能使用明文的哈希值 3、加密、解密和签名、验签的过程： 签名(signature)： Alice将一个明文M(message)使用私钥乘以明文的结果作为签名S=a*M，将明文和签名一起发送给Bob。 采用椭圆曲线加密的签名简称ECDSA(Elliptic Curve Digital Signature Algorithm); 验签(verify signature)： Bob使用基点G乘以签名S, 得到结果V1=G*S=G*(a*M)=G*a*M， Bob再拿收到的Alice的明文M乘公钥A， 也就是V2=M*A=M*(G*a)=M*G*a=G*a*M, 判断V1是否等于V2，Bob即可知道收到的明文M与签名S是一致，认定该明文是Alice的消息。 加密(encryption): Alice生成一个随机数r，将r乘以G得到E1=rG, 引入r是为了更强的安全性， Alice将明文M与r*B相加，得到E2=M+(r*B), Alice将E1和E2这个‘点对’发送给Bob， 解密(decryption): Bob先用私钥计算Q=b*E1=b*(rG)=b*r*G 再计算E2-Q=E2-(b*r*G)=M+(r*B)-b*r*G=M+(r*b*G)-(b*r*G)=M+(r*b*G)-(r*b*G)=M。 4、介绍BLE使用的ECDH（Elliptic Curve Diffie-Hellman）： *ECDH是一种基于椭圆曲线密码学（ECC）的密钥交换协议; *BLE在secure connection paring中的密钥交换过程就是采用p-256 ECDH; *我司SDK的third_party文件夹有uecc的开源库; *BLE使用ECDH生成LTK的过程如下： 1.密钥生成: * Alice生成私钥a(随机整数)，计算公钥 A=a*G * Bob生成私钥 b，计算公钥 B =b*G。。 2.交换公钥: Alice和Bob通过公开信道交换公钥 A 和 B。 3.共享密钥计算: *Alice用私钥a和Bob的公钥计算出K=a*B=a*(b*G)=ab*G *Bob用私钥b和Alice的公钥计算K=b*A=b(a*G)=ab*G。 最终双方得到相同的共享密钥K，通常取其坐标的哈希值作为对称加密密钥。 4.生成LTK： 在第3点中生成的共享密钥K就是BLE中的DHkey, 再结合双方交换的Mrand的和Srand， 利用AES-CMAC算法等运行后可得到LTK |
图1
图2
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